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1-3 응력

3.1 응력과 강도

하중이 구조물에 가해지면, 구조물 내부에 응력(\( \sigma \))이 증가하다가 어느 순간 응력과 강도가 같아지는 순간에 도달하면, 이 상태를 한계상태(critical state)라고 한다.
응력이 더 증가하여 한계상태를 초과하면 파괴상태(failure state)가 된다.
결국 단면의 설계된 응력과 강도의 크기 비교로 볼 수 있다. 즉, 응력이 강도보다 크면 파괴가 발생하고, 응력이 강도보다 작으면 안전하다.
예를 들어, (압축/인장/전단/휨) 응력 vs. (압축/인장/전단/휨) 강도의 크기 비교로 볼 수 있다.

\[ \sigma = \frac{P}{A} \]

그림 1-3.1.1 아픔의 차이는 응력의 차이
(같은 하중이라도 면적이 줄어들면 응력이 커지고, 아픔도 커진다.)

영화 글래스(출처: Wikipedia [LINK])
비슷한 사람이라도 견딜 수 있는 허용응력이 다르다.
즉, 모양이 비슷하면 응력은 같지만, 재료에 따라 허용응력이 다르다.

3.2 모어원(Mohr circle)

(1) 평면응력상태

그림 1-3.2.1a 지문위에 놓인 변형률계(Strain Gauge)
부재의 변형률(응답)을 계측하고, 이를 사용하여 부재가 받는 응력(부재력)을 계산한다.

그림 1-4.4.2 비틀림모멘트에 의한 파괴형상
인장응력에 취약하지 않은 연성재료는 최대전단응력에 의해 전단파괴가 발생한다.
인장응력에 취약한 취성재료는 최대주응력(최대인장응력)에 의해 사인장파괴가 발생한다.

1-3.2.1b 평면응력(Plane Stress)
평면응력은 면의 방향에 따라 응력이 다르고, 힘의 평형으로 각 면의 응력을 구할 수 있다.

1) 중심과 반지름

\[ \begin{aligned} \sigma_c &= \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \\ R &= \sqrt{\left( \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2} \end{aligned} \]

2) 주응력

\[ \begin{aligned} \sigma_1 &= \sigma_c + R \\ \sigma_2 &= \sigma_c - R \\ \tau_{\max} &= R \end{aligned} \]

3) \( \theta \) 회전 후 응력

\[ \begin{aligned} \sigma_{x'} &= \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cos 2\theta &+ \tau_{xy} \sin 2\theta \\ \sigma_{y'} &= \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} - \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cos 2\theta &- \tau_{xy} \sin 2\theta \\ \tau_{x'y'} &= -\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \sin 2\theta &+ \tau_{xy} \cos 2\theta \end{aligned} \]

4) \( \theta \) 회전 후 변형률 (스트레인 로제트)

\[ \begin{aligned} \varepsilon_{x'} &= \frac{\varepsilon_x + \varepsilon_y}{2} + \frac{\varepsilon_x - \varepsilon_y}{2} \cos 2\theta \quad + \frac{\gamma_{xy}}{2} \sin 2\theta \end{aligned} \]